Представитель старинного дворянского рода, родственник князя Потёмкина-Таврического.
Окончив курс в Московском университете, поступил в военную службу.
Начальствовал в Казани во время осады города войском Е. Пугачева; затем стоял во главе секретных комиссий казанской и московской.
В 1783 г. убедил кахетинского и карталинского царя Ираклия II вступить в русское подданство.
Привел к присяге на русское подданство все ногайские племена, кочевавшие на Кубани.
В 1784-1788 гг. — саратовский и кавказский генерал-губернатор; позже в его ведении оставлена только Кавказская губерния, где он довольно успешно действовал против горских племен.
В 1790 г. во вторую русско-турецкую войну Потёмкин отличился при взятии штурмом Измаила.
В 1794 г. — сподвижник А. В. Суворова в подавлении Польского восстания. Возведен в графское достоинство.
3.VI.1791 г. указом императрицы Екатерины II графу Потёмкину пожалована Глушковская суконная мануфактура в с. Глушково Курской губернии, вместе с людьми и землями.
Знаменскому монастырю Потёмкин передал в дар образ Богоматери превосходной живописи, привезённый им из Италии.
Потёмкин — автор ряда стихотворных произведений (драм в стихах, поэм, элегий и т. п.). Перевел на русский язык трагедию Вольтера «Фанатизм, или пророк Магомет» и несколько сочинений Руссо.
В свое время пользовался известностью рукописный «Глас Невинности», написанный Потёмкиным в ответ на обвинения в убийстве персидского принца и напечатанный только 80 лет спустя в «Русском Архиве» (т. III).
Соч.: две драмы в стихах — «Торжество Дружбы» (Москва, 1773) и «Россы в Архипелаге» (Санкт-Петербург, 1772), «Эпистола на взятие Бендер» (Москва, 1770), «Поэма на победы, одержанные Россиийской армией над турецкими войсками» (Санкт-Петербург, 1770), элегия «Скончает ли судьба когда мои напасти» (в "Полезном Увеселении", 1761, т. IV).